Proceedings of the International Geometry Center

ISSN-print: 2072-9812
ISSN-online: 2409-8906
ISO: 26324:2012
Архiви

Періодичні дані дифеоморфізма поверхні з однією седлової орбітою.

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

Олена В'ячеславівна Ноздрінова
http://orcid.org/0000-0001-5209-377X
Ольга Віталіївна Починка
http://orcid.org/0000-0002-6587-5305

Анотація

При вивченні дискретних динамічних систем важливу роль відіграють періодичні орбіти. Класичним прикладом є теорема Шарковського про відображення відрізку в себе, яка стверджує, що з існування орбіт періоду три “породжує хаос”. В останні 40 років з’явилось багато робіт присвячених вивченню періодичних даних відображень поверхонь. Найбільш корисними інструментами для доведення існування нерухомих точок та, в більш загальному випадку, періодичних точок неперервного відображення компактного многовиду, є теорема Лефшеця про нерухому точку та її узагальнення. Дзета-функція Лефшеця спрощує вивчення періодичних точок дифеоморфізмів поверхонь з регулярною динамікою. Результати досліджень в даному напрямку можна знайти в роботах таких авторів як: П. Бланшар, С. Баттерсон, У. Жако, Дж. Френкс, С. Нарасімхан і ін. Опис періодичних даних градієнтно-подібних дифеоморфізмів поверхонь був отриманий А. Безденежних та В. Грінесом і спирався на класифікацію гомеоморфізмів поверхонь, отриману Дж. Нільсеном. У роботі “A complete topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on surfaces: a kind of kneading theory in dimension two” В. Грінес, О. Починка, С. Ван Стрієн показали, що вивчення періодичних даних довільних дифеоморфізмів Морса-Смейла на поверхнях зводиться шляхом фільтрації до задачі обчислення періодичних даних дифеоморфізмів з єдиною седловою періодичною орбітою. Представлена робота присвячена вирішенню останньої задачі у випадку, коли орбіта сідлової точки має додатний тип орієнтації. В статті доведено, що на кожній орієнтовній поверхні існує дифеоморфізм, який зберігає орієнтацію і має єдину При вивченні дискретних динамічних систем важливу роль відіграють періодичні орбіти. Класичним прикладом є теорема Шарковського про відображення відрізку в себе, яка стверджує, що з існування орбіт періоду три “породжує хаос”. В останні 40 років з’явилось багато робіт присвячених вивченню періодичних даних відображень поверхонь. Найбільш корисними інструментами для доведення існування нерухомих точок та, в більш загальному випадку, періодичних точок неперервного відображення компактного многовиду, є теорема Лефшеця про нерухому точку та її узагальнення. Дзета-функція Лефшеця спрощує вивчення періодичних точок дифеоморфізмів поверхонь з регулярною динамікою. Результати досліджень в даному напрямку можна знайти в роботах таких авторів як: П. Бланшар, С. Баттерсон, У. Жако, Дж. Френкс, С. Нарасімхан і ін. Опис періодичних даних градієнтно-подібних дифеоморфізмів поверхонь був отриманий А. Безденежних та В. Грінесом і спирався на класифікацію гомеоморфізмів поверхонь, отриману Дж. Нільсеном. У роботі “A complete topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on surfaces: a kind of kneading theory in dimension two” В. Грінес, О. Починка, С. Ван Стрієн показали, що вивчення періодичних даних довільних дифеоморфізмів Морса-Смейла на поверхнях зводиться шляхом фільтрації до задачі обчислення періодичних даних дифеоморфізмів з єдиною седловою періодичною орбітою. Представлена робота присвячена вирішенню останньої задачі у випадку, коли орбіта сідлової точки має додатний тип орієнтації. В статті доведено, що на кожній орієнтовній поверхні існує дифеоморфізм, який зберігає орієнтацію і має єдину
Ключові слова:
періодичні дані, поверхня

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Як цитувати
Ноздрінова, О., & Починка, О. (2018). Періодичні дані дифеоморфізма поверхні з однією седлової орбітою. Proceedings of the International Geometry Center, 11(2). https://doi.org/10.15673/tmgc.v11i2.1025
Розділ
Статьи

Посилання

1. A.N. Bezdenezhnyh, V.Z. Grines. Realization of gradient-like diffeomorphisms of twodimensional manifolds. Sel. Math. Sov., translation from Differential and integral equations (Russian), 11(1):19–23, 1985.

2. Yu. G. Borisovich, N. M. Bliznyakov, Y. A. Izrailevich, T. N. Fomenko. Introduction to the topology, volume 296. Moscow, Higher school, 1980.

3. J. Franks. Homology and dynamical systems. CBSM Regional Conf. Ser. in Math. 49, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982.

4. V. Grines, D. Malyshev, O. Pochinka, S. Zinina. Efficient algorithms for the recognition of topologically conjugate gradient-like diffeomorhisms. Regular and Chaotic Dynamics, 21(2):189–203, 2016.

5. V. Grines, T. Medvedev, O. Pochinka. Dynamical Systems on 2- and 3-Manifolds., volume 364. Springer International Publishing Switzerland., 2016.

6. V. Grines, O. Pochinka, S. Van Strien. Realization of gradient-like diffeomorphisms of twodimensional manifolds. arXiv, 2017.

7. V. Z. Grines, S. Kh. Kapkaeva, O. V. Pochinka. A three-colour graph as a complete topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of surfaces. Sbornik Mathematics, 205(10):19–46, 2014.

8. A Li, J Yorke. Period three implies chaos. Amer. Math. Monthly, (82):985–992, 1975.

9. E. Nozdrinova, O. Pochinka. On periodic data of polar 2-diffeomorphisms with one saddle orbit. Differential equations and their applications in mathematical modeling: materials of the XIII International Scientific Conference (Saransk, July 12-16, 2017), 408–417, 2017.

10. J. Palis, W. di Melo. Geometric theory of dynamical systems. An introduction. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1982.

11. Brown R.F. The Lefschetz fixed point theorem, volume 186. Scott, Foresman and Company, Glenview,IL, 1971.

12. A.N. Sharkovsky. Coexistence of cycles of a continuous map on itself. Ukrainian mathematical journal, 16(1):61–71, 1964.

13. S. Smale. Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc., 73(6):747–817, 1967.