Proceedings of the International Geometry Center

ISSN-print: 2072-9812
ISSN-online: 2409-8906
ISO: 26324:2012
Архiви

Про регулярні тканинах, визначених плюрігармоніческімі функціями

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

Любовь Михайловна Пиджакова
Александр Михайлович Шелехов

Анотація

Як відомо, функція двох змінних z=f(x, y) визначає на площині (x, y) в околі регулярної точки деяку три-тканину, утворену шаруваннями x=const, y=const та f(x, y)=const.


Три-тканина називається регулярною, якщо вона еквівалента (тобто локально дифеоморфна) три-тканині, утвореній трьома сім'ями паралельних прямих.


В цьому випадку рівняння тканини має вигляд


$z=f\left(\alpha(x)+\beta(y)\right)$.


В одній з робіт авторів цієї статті були знайдені всі регулярні три-тканини, що задаються деякими відомими рівняннями в частинних похідних, зокрема, визначаються гармонійними функціями.


В даній роботі ці результати узагальнюються на випадок плюрігармонічних функцій виду                u=f(x_1, ..., x_r, y_1, .... , y_r).


По-перше, така функція на многовиді розмірності 2r визначає (2r + 1)-тканину, утворену шаруваннями ковиміру 1 виду


x_i = const, 


y_i = const,  (i = 1 , 2, ...., r),


u = const.


(2r + 1)-тканина називається регулярною, якщо в деяких локальних координатах її рівняння може бути записано у вигляді


\[ u=f\bigl( \varphi_1(x_1)+\ldots + \varphi_r(x_r)+\psi_1(y_1)+ \ldots +\psi_r( y_r) \bigr).\]


В представленій роботі ми знаходимо всі плюригармонічні функції, що визначають регулярні               (2r + 1)-тканини (теорема 1).


З іншого боку, кожна плюригармонічна функція \[u=f(x_1,....., x_r, y_1, ...., y_r)\]


на 2r-вимірному многовиді визначає три-тканину W(r, r, 2r-1), утворену двома r-вимірними шаруваннями x_i = const  і y_i = const та шаруванням u=const ковиміру 1.


Ця тканина називається регулярною, якщо в деяких локальних координатах її рівняння може бути записано у вигляді


$$


u=f\left(\varphi(x_1, x_2,\ldots, x_r)+\psi(y_1, y_2,\ldots, y_r)\right).


$$


Ми також знаходимо всі плюригармонічні функції, що визначають регулярні три-тканини W(r,r,2r-1) (теорема 2).

Ключові слова:
плюригармонічна функція,, регулярна тканина

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Як цитувати
Пиджакова, Л., & Шелехов, А. (2019). Про регулярні тканинах, визначених плюрігармоніческімі функціями. Proceedings of the International Geometry Center, 11(3). https://doi.org/10.15673/tmgc.v11i3.1201
Розділ
Статьи

Посилання

1. В. Бляшке. Введение в геометрию тканей. М., Физматгиз, 1956.,
2. Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ. М., Наука, 1985.,
3. A. M. Шелехов. О <<шестиугольных>> решениях некоторых уравнений в частных производных. Proceedings of the International Geometry Center, 10(2):47–55, 2017.,
4. A. M. Шелехов, В. Б. Лазарева, А. А. Уткин. Криволинейные три-ткани. Тверь, 2013.