Proceedings of the International Geometry Center

ISSN-print: 2072-9812
ISSN-online: 2409-8906
ISO: 26324:2012
Архiви

Розширення геометрії Мебіуса - Лі з конформними ансамблями циклів та її реалізацією в бібліотеці GiNaC

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

Vladimir Kisil
http://orcid.org/0000-0002-6593-6147

Анотація

В статті розглядається розширення геометрії сфер введене Софусом Лі.


Нас цікавлять властивості інваріантні відносно дробово"=лінійних (мебіусових) перетворень.


Об'єктами розширеної геометрії Мебіуса"=Лі є ансамблі сфер взаємопов'язані наборами відношень інваріантних відносно мебіусових перетворень простору, наприклад ортогональність, дотичніть та ін.


В недавніх публікаціях було показано, що такі ансамблі дозволяють природним чином параметризувати різні об'єкти пов'язані з дробово"=лінійними перетвореннями, наприклад локсодроми або неперервні дроби.


Деякі з використаних геометричних відношень (наприклад, ортогональность) задаються лінійними умовами на коефіцієнти рівнянь сфер, інші (наприклад, дотик) є квадратичними.


В роботі описується метод, який дозволяє звести будь"=яке число розглянутих відношень до системи лінійних рівностей та не більше ніж однієї додаткової квадратичної умови.


Ефективність даного методу дозволила реалізувати математичну концепцію розширеної геометрії Мебіуса"=Лі в програмній бібліотеці написаній на {\CPP}.


Бібліотека працює в просторах будь"=якої розмірності з довільною метрикою, включаючи вироджені випадки.


Вона дозволяє проводити маніпуляції з символьними обчисленнями, точною арифметикою, або наближено.


В просторах розмірності два та три бібліотека може будувати графічні образи та анімації в кількох популярних форматах.


Бібліотека супроводжуються оболонкою для інтерактивного доступу на мові {\Python}.


Також активно розвивається графічний інтерфейс користувача (GUI), який дозволяє використовувати бібліотеку за допомогою клацань миші.


Програмна реалізація дає можливість проводити подальше вивчення розширеної геометрії Мебіуса"=Лі і може бути використана у викладанні.}


 

Ключові слова:
Геометрія Мебіуса-Лі

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Як цитувати
Kisil, V. (2019). Розширення геометрії Мебіуса - Лі з конформними ансамблями циклів та її реалізацією в бібліотеці GiNaC. Proceedings of the International Geometry Center, 11(3). https://doi.org/10.15673/tmgc.v11i3.1203
Розділ
Статьи

Посилання

1. E. F. Allen. On a triangle inscribed in a rectangular hyperbola. Amer. Math. Monthly, 48:675-681, 1941.,
2. F. Almalki, V. V. Kisil. Geometric dynamics of a harmonic oscillator, arbitrary minimal uncertainty states and the smallest step 3 nilpotent Lie group. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 52(2):025301, 2019. \\arXiv1805.01399.,
3. David E. Barrett, Michael Bolt. Laguerre arc length from distance functions. Asian J. Math., 14(2):213-233, 2010.,
4. H. Bateman. The mathematical analysis of electrical and optical wave-motion on the basis of Maxwell's equations. Dover Publications, Inc., New York, 1955.,
5. Christian Bauer, Alexander Frink, Richard Kreckel. Introduction to the GiNaC framework for symbolic computation within the \\rm C++ programming language. J. Symbolic Comput., 33(1):1-12, 2002.,
6. Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups, volume 91 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995. Corrected reprint of the 1983 original.,
7. Alan F. Beardon, Ian Short. A geometric representation of continued fractions. Amer. Math. Monthly, 121(5):391-402, 2014.,
8. Walter Benz. Classical geometries in modern contexts. Birkhauser Verlag, Basel, second edition, 2007. Geometry of real inner product spaces.,
9. Walter Benz. A fundamental theorem for dimension-free Mobius sphere geometries. Aequationes Math., 76(1-2):191-196, 2008.,
10. Alexander I. Bobenko, Wolfgang K. Schief. Circle complexes and the discrete CKP equation. Int. Math. Res. Not. IMRN, (5):1504-1561, 2017.,
11. Thomas E. Cecil. Lie sphere geometry. Universitext. Springer, New York, second edition, 2008. With applications to submanifolds.,
12. Zvonko Cerin, Gian Mario Gianella. On improvements of the butterfly theorem. Far East J. Math. Sci. (FJMS), 20(1):69-85, 2006.,
13. Jan Cnops. An introduction to Dirac operators on manifolds, volume 24 of Progress in Mathematical Physics. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2002.,
14. H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Geometry revisited, volume 19 of New Mathematical Library. Random House, Inc., New York, 1967.,
15. R. Delanghe, F. Sommen, V. Sou\\vcek. Clifford algebra and spinor-valued functions, volume 53 of Mathematics and its Applications. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1992. A function theory for the Dirac operator, Related REDUCE software by F. Brackx and D. Constales, With 1 IBM-PC floppy disk (3.5 inch).,
16. Michael DeVilliers. The nine-point conic: a rediscovery and proof by computer. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 37(1):7-14, 2006.,
17. Dominique Devriese et al. Kig. \\urlhttps://edu.kde.org/kig/, since 2006. Free and open-source interactive geometry software.,
18. Leo Dorst, Chris Doran, Joan Lasenby, editors. Applications of geometric algebra in computer science and engineering. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2002. Papers from the conference (AGACSE 2001) held at Cambridge University, Cambridge, July 9-13, 2001.,
19. Hilaire Fernandes et al. GNU Dr. Geo. \\urlhttp://www.drgeo.eu/, since 1996. Interactive Geometry Software.,
20. Jay P. Fillmore, A. Springer. Mobius groups over general fields using Clifford algebras associated with spheres. Internat. J. Theoret. Phys., 29(3):225-246, 1990.,
21. Jay P. Fillmore, Arthur Springer. Determining circles and spheres satisfying conditions which generalize tangency. 2000. \\urlhttp://www.math.ucsd.edu/ fillmore/papers/2000LGalgorithm.pdf.,
22. GNU. General Public License (GPL). Free Software Foundation, Inc., Boston, USA, version 3 edition, 2007. URL: \\urlhttp://www.gnu.org/licenses/gpl.html.,
23. N. A. Gromov. Possible quantum kinematics. II. Nonminimal case. J. Math. Phys., 51(8):083515, 12, 2010.,
24. N. A. Gromov. \\cyr Kontraktsii klassicheskikh i kvantovykh grupp. [Contractions of classic and quanrum groups]. Moskva: Fizmatlit, 2012.,
25. N. A. Gromov, V. V. Kuratov. Possible quantum kinematics. J. Math. Phys., 47(1):013502, 9, 2006.,
26. Eric Hakenholz et al. CaRMetal. \\urlhttp://carmetal.org/, since 2006. Free Software on Dynamical Geometry.,
27. Andy Hammerlindl, John Bowman, Tom Prince. Asymptote - powerful descriptive vector graphics language for technical drawing, inspired by metapost, 2004-2011. URL: \\urlhttp://asymptote.sourceforge.net/.,
28. Francisco J. Herranz, Mariano Santander. Conformal compactification of spacetimes. J. Phys. A, 35(31):6619-6629, 2002. \\arXivmath-ph/0110019.,
29. David Hestenes. Space-time algebra. Birkhauser/Springer, Cham, second edition, 2015. With a foreword by Anthony Lasenby.,
30. David Hestenes, Garret Sobczyk. Clifford algebra to geometric calculus. Fundamental Theories of Physics. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1984. A unified language for mathematics and physics.,
31. Dietmar Hildenbrand. Foundations of geometric algebra computing, volume 8 of Geometry and Computing. Springer, Heidelberg, 2013. With a foreword by Alyn Rockwood.,
32. Markus Hohenwarter et al. GeoGebra. \\urlhttps://www.geogebra.org/, since 2001. An interactive geometry, algebra, statistics and calculus application.,
33. H. A. Kastrup. On the advancements of conformal transformations and their associated symmetries in geometry and theoretical physics. Annalen der Physik, 17(9-10):631-690, 2008. \\arXiv0808.2730.,
34. A. A. Kirillov. A tale of two fractals. Springer, New York, 2013. Draft: \\urlhttp://www.math.upenn.edu/ kirillov/MATH480-F07/tf.pdf.,
35. Vladimir Kisil. Erlangen program at large-1: geometry of invariants. SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl., 6:Paper 076, 45, 2010.,
36. Vladimir V. Kisil. Erlangen program at large-0: starting with the group \\rm SL\\sb 2(\\mathbb R). Notices Amer. Math. Soc., 54(11):1458-1465, 2007. \\arXivmath/0607387, \\hrefhttp://www.ams.org/notices/200711/tx071101458p.pdfOn-line, \\Zbl1137.22006.,
37. Vladimir V. Kisil. Fillmore-Springer-Cnops construction implemented in \\sffamily ginac. Adv. Appl. Clifford Algebr., 17(1):59-70, 2007. \\hrefhttp://dx.doi.org/10.1007/s00006-006-0017-4On-line. A more recent version: \\arXivcs.MS/0512073. The latest documentation, source files, and live ISO image are at the project page: \\urlhttp://moebinv.sourceforge.net/. \\Zbl05134765.,
38. Vladimir V. Kisil. Two-dimensional conformal models of space-time and their compactification. J. Math. Phys., 48(7):\\hrefhttp://link.aip.org/link/?JMP/48/073506073506, 8, 2007. \\arXivmath-ph/0611053, \\Zbl1144.81368.,
39. Vladimir V. Kisil. Erlangen program at large-2: inventing a wheel. The parabolic one. Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr. (Proc. Math. Inst. Ukr. Ac. Sci.), 7(2):89-98, 2010. \\arXiv0707.4024.,
40. Vladimir V. Kisil. Erlangen programme at large 3.2: Ladder operators in hypercomplex mechanics. Acta Polytechnica, 51(4):\\hrefhttp://ctn.cvut.cz/ap/download.php?id=61444-53, 2011. \\arXiv1103.1120.,
41. Vladimir V. Kisil. Geometry of Mobius transformations. Imperial College Press, London, 2012. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of \\rmSL_2(\\mathbbR), With 1 DVD-ROM.,
42. Vladimir V. Kisil. Is commutativity of observables the main feature, which separate classical mechanics from quantum? \\cyr Izvestiya Komi nauchnogo centra UrO RAN [Izvestiya Komi nauchnogo centra UrO RAN], 3(11):4-9, 2012. \\arXiv1204.1858.,
43. Vladimir V. Kisil. Induced representations and hypercomplex numbers. Adv. Appl. Clifford Algebr., 23(2):417-440, 2013. \\arXiv0909.4464, \\Zbl1269.30052.,
44. Vladimir V. Kisil. MoebInv illustrations, 2015-16. \\hrefhttps://goo.gl/Z9GUL0YouTube playlist.,
45. Vladimir V. Kisil. Remark on continued fractions, Mobius transformations and cycles. \\cyr Izvestiya Komi nauchnogo centra UrO RAN [Izvestiya Komi nauchnogo centra UrO RAN], 25(1):11-17, 2016. \\arXiv1412.1457, \\hrefhttp://www.izvestia.komisc.ru/Archive/i25_ann.files/kisil.pdfon-line.,
46. Vladimir V. Kisil. Poincare extension of Mobius transformations. Complex Var. Elliptic Equ., 62(9):1221-1236, 2017.,
47. Vladimir V. Kisil. Symmetry, geometry and quantization with hypercomplex numbers. In Geometry, integrability and quantization XVIII, 11-76. Bulgar. Acad. Sci., Sofia, 2017. \\arXiv1611.05650.,
48. Vladimir V. Kisil, James Reid. Conformal parametrisation of loxodromes by triples of circles. 2018. \\arXiv1802.01864.,
49. B. G. Konopelchenko, W. K. Schief. Menelaus' theorem, Clifford configurations and inversive geometry of the Schwarzian KP hierarchy. J. Phys. A, 35(29):6125-6144, 2002.,
50. B. G. Konopelchenko, W. K. Schief. Reciprocal figures, graphical statics, and inversive geometry of the Schwarzian BKP hierarchy. Stud. Appl. Math., 109(2):89-124, 2002.,
51. B. G. Konopelchenko, W. K. Schief. Conformal geometry of the (discrete) Schwarzian Davey-Stewartson II hierarchy. Glasg. Math. J., 47(A):121-131, 2005.,
52. Khawlah A. Mustafa. The groups of two by two matrices in double and dual numbers, and associated Mobius transformations. Adv. Appl. Clifford Algebr., 28(5):Art. 92, 25, 2018. \\arXiv1707.01349.,
53. Pavel Pech. Selected topics in geometry with classical vs. computer proving. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2007.,
54. Dan Pedoe. Circles: a mathematical view. MAA Spectrum. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1995. Revised reprint of the 1979 edition, With a biographical appendix on Karl Feuerbach by Laura Guggenbuhl.,
55. Ian R. Porteous. Clifford algebras and the classical groups, volume 50 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.,
56. W. K. Schief, B. G. Konopelchenko. A novel generalization of Clifford's classical point-circle configuration. Geometric interpretation of the quaternionic discrete Schwarzian Kadomtsev-Petviashvili equation. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 465(2104):1291-1308, 2009.,
57. Hans Schwerdtfeger. Geometry of complex numbers: circle geometry, Moebius transformation, non-Euclidean geometry. Dover Books on Advanced Mathematics. Dover Publications Inc., New York, 1979. A corrected reprinting of the 1962 edition.,
58. Barry Simon. Szeg\\Ho's theorem and its descendants. M. B. Porter Lectures. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2011. Spectral theory for L^2 perturbations of orthogonal polynomials.,
59. Ian Stewart, David Tall. Algebraic number theory and Fermat's last theorem. A K Peters, Ltd., Natick, MA, third edition, 2002.,
60. John Vince. Geometric algebra for computer graphics. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2008.,
61. I. M. Yaglom. A simple non-Euclidean geometry and its physical basis. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1979. An elementary account of Galilean geometry and the Galilean principle of relativity, Heidelberg Science Library, Translated from the Russian by Abe Shenitzer, With the editorial assistance of Basil Gordon.