Proceedings of the International Geometry Center

ISSN-print: 2072-9812
ISSN-online: 2409-8906
ISO: 26324:2012
Архiви

Про задачу інтегрування для систем рівнянь з частинними похідними від однієї невідомої функції, I

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

Antonio Kumpera
http://orcid.org/0000-0001-8290-4254

Анотація

В статті вивчається проблема інтегровності систем S диференціальних рівнянь в частинних похідних від однієї невідомої функції, причому особливу увагу приділено системам першого порядку. З геометричної точки зору ми маємо систему Пфаффа так званої канонічної контактної структури, яка визначається грасмановим пучком контактних елементів певного порядку. Наш підхід є двояким: з одного боку ми використовуємо характеристики Картана для зведення проблеми до мінімальної кількості змінних, а з іншого – досліджуємо характер характеристик Коші для отримання необхідних критеріїв існування розв’язків для системи Пфаффа P = P(S), асоційованої з заданою системою рівнянь в частинних похідних S і отриманої обмеженням вищевказаної канонічної контактної структури на підмноговид S, що визначає дане рівняння. Ми також показуємо, що інтегровність системи S еквівалентна регулярності характеристик Коші пов’язаних з відповідною розмірністю.


Перша частина статті носить вступний характер і є підготовчою для другої частини в якій вивчатимуться диференціальні рівняння в частинних похідних довільних порядків. Ця робота базується на чотирьох роботах Елі Картана написаних на початку минулого століття (див. бібліографію).


Тим не менш, представлене в ній детальне обговорення характеристик Дарбу, Коші та Картана, виявляє деталі, які, наскільки нам відомо, не були ніде опубліковані. Зокрема, вищезгаданий результат про інтегрування (див. теореми 7.12 і 7.17) видається новим кроком у теорії інтегрування диференціальних систем. Також у розділі 5 ми наведено два головних приклади: грасманівський пучок гіперплощин та ліувіллєва структура на кодотичному розшарування, які ілюструють багато ідей описаних в даній роботі.


Зауважимо, що наші методи також застосовуються до випадку неінтегровних систем, і в останніх двох розділах отримано деякі цікаві результати, що ілюструють їх за допомогою систем прапорів. Останні системи можна розглядати як “найбільш неінтегровні” системи Пфаффа не дивлячись на те, що єдиними інтегральними підмноговидами є, власне, інтегральні криві (будь-яка крива, дотична до лінійних контактних елементів, що зануляються системою Пфаффа).

Ключові слова:
Диференціальні рівняння у частинних похідних, система Пфаффа, контактні структури, локальна еквівалентність

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Як цитувати
Kumpera, A. (2019). Про задачу інтегрування для систем рівнянь з частинними похідними від однієї невідомої функції, I. Proceedings of the International Geometry Center, 11(4), 35-71. https://doi.org/10.15673/tmgc.v11i4.1305
Розділ
Статьи

Посилання

[1] R. Almeida, P. Molino. Suites d’Atiyah et feuilletages transversalement complets. C.R. Acad. Sci. Paris, 300:13–15, 1985 (in fre).
[2] E. Cartan. Sur l’intégration de certains systèmes de Pfaff de caractère deux. Bull. Soc. Math. de France, 29:233–302, 1901 (in fre).
[3] E. Cartan. Sur l’intégration des systèmes d’équations aux différentielles totales. Annales Sci. Ecole Norm. Sup., 18:241–311, 1901 (in fre).
[4] E. Cartan. Les systèmes de Pfaff à cinq variables et les équations aux dérivées partielles du second ordre. Annales Sci. École Norm. Sup., 27:109–192, 1910 (in fre).
[5] E. Cartan. Sur les systèmes en involution d’équations aux dérivées partielles du second ordre à une fonction inconnue de trois variables indépendantes. Bull. Soc. Math. France, 39:352–443, 1911 (in fre).
[6] E. Cartan. Sur l’équivalence absolue de certains systèmes d’équations différentielles et sur certaines familles de courbes. Bull. Soc. Math. de France, 42:12–48, 1914 (in fre).
[7] E. Cartan. La théorie de Galois et ses générlisations. Comm. Math. Helv., 11:9–25, 1938 (in fre).
[8] E. Cartan. Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométrique. Hermann, Paris, 1945 (in fre).
[9] J. Drach. Essai sur une théorie générale de l’intégration et sur la classification des transcendantes. Ann. Ecole. Norm. Sup., 15:243–384, 1898 (in fre).
[10] Ch. Ehresmann. Gattungen von lokalen Strukturen. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 60:49–77, 1958 (in ger).
[11] Ch. Ehresmann. Esquisses d’un folklore de géométrie différentielle. Cahiers Topol. Géom. Différ., C. Ehresmann, 1967 (in fre).
[12] Ch. Ehresmann. Sur les catégories différentiables. Atti. Conv. Int. Geom. Diff., Bologna, 1967 (in fre).
[13] A. Kumpera. Intégration des distributions singulières sur les variétés banachiques. Istit. Analisi Globale e Applic., Consiglio Nazionale delle Ricerche, 1:1–67, 1982 (in fre).
[14] A. Kumpera. On the Lie and Cartan theory of invariant differential systems. J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 6:229–314, 1999 (in eng).
[15] A. Kumpera. An introduction to Lie groupoids. arXiv, 1512.01454:44, 2015 (in eng).
[16] A. Kumpera. Non-integrable Pfaffian systems. arXiv, 1608.02871:25, 2015 (in eng).
[17] A. Kumpera. On The Equivalence Problem for Geometric Structures, I, II. arXiv, 1412.8391 and 8394:55+38, 2015 (in eng).
[18] A. Kumpera. On the integrability problem for systems of partial differential equations in one unknown function, i. Proceedings of the International Geometry Center, 11(4):35–71, 2018 (in eng).
[19] A. Kumpera. Automorphisms of Flag Systems. J. Differ. Eq., 266(2-3), 2019 (in eng).
[20] A. Kumpera, J. Rubin. Multi-Flag Systems and Ordinary Differential Equations. Nagoya Math. J., 166:1–27, 2002 (in eng).
[21] A. Kumpera, C. Ruiz. Sur l’équivalence locale des systèmes de Pfaff en drapeau. F. Gherardelli (Ed.), Monge-Ampère Equations and Related Topics, Firenze 1980, Proceedings, Istit. Naz. Alta Mat. ”Francesco Severi”, Roma, pages 201–248, 1982 (in fre).
[22] A. Kumpera, D. Spencer. Lie Equations, Vol.1: General Theory. Princeton University Press, 1972 (in eng).
[23] R. Kumpera. Sur la géométrie de contact d’ordre supérieur. Portugal. Math., 44(2):199–212, 1987.
[24] S. Lie. Begründung einer Invariantentheorie der Berührungstransformationen. Math. Ann., 8:215–288, 1874 (in ger).
[25] S. Lie. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Math. Ann., 9:245–296, 1875 (in ger).
[26] S. Lie. Begründung einer Invariantentheorie der Berührungstransformationen. Math. Ann., 9:289–303, 1875 (in ger).
[27] S. Lie. Klassifikation und Integration von gewönlichen Differentialgleichungen zwischen x,y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. Math. Ann., 32:213–281, 1888 (in ger).
[28] E. Picard. Traité d’analyse. Gauthier-Villars, Paris, 1896 (in fre).
[29] E. Vessiot. Sur la théorie de Galois et ses diverses généralisations. Ann. Ecole. Norm. Sup., 21:9–85, 1904 (in fre).
[30] E. Vessiot. Sur la réductibilité et l’intégration des systèmes complets. Ann. Ecole. Norm. Sup., 29:209–278, 1912 (in fre).
[31] E. von Weber. Zur Invariantentheorie der Systeme Pfaff’scher Gleichungen. Leipz. Ber., 50:207–229, 1898 (in ger).