Proceedings of the International Geometry Center

ISSN-print: 2072-9812
ISSN-online: 2409-8906
ISO: 26324:2012
Архiви

Про задачу інтегрування для систем рівнянь з частинними похідними від однієї невідомої функції, I

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

Antonio Kumpera
http://orcid.org/0000-0001-8290-4254

Анотація

В статті вивчається проблема інтегровності систем S диференціальних рівнянь в частинних похідних від однієї невідомої функції, причому особливу увагу приділено системам першого порядку. З геометричної точки зору ми маємо систему Пфаффа так званої канонічної контактної структури, яка визначається грасмановим пучком контактних елементів певного порядку. Наш підхід є двояким: з одного боку ми використовуємо характеристики Картана для зведення проблеми до мінімальної кількості змінних, а з іншого – досліджуємо характер характеристик Коші для отримання необхідних критеріїв існування розв’язків для системи Пфаффа P = P(S), асоційованої з заданою системою рівнянь в частинних похідних S і отриманої обмеженням вищевказаної канонічної контактної структури на підмноговид S, що визначає дане рівняння. Ми також показуємо, що інтегровність системи S еквівалентна регулярності характеристик Коші пов’язаних з відповідною розмірністю.


Перша частина статті носить вступний характер і є підготовчою для другої частини в якій вивчатимуться диференціальні рівняння в частинних похідних довільних порядків. Ця робота базується на чотирьох роботах Елі Картана написаних на початку минулого століття (див. бібліографію).


Тим не менш, представлене в ній детальне обговорення характеристик Дарбу, Коші та Картана, виявляє деталі, які, наскільки нам відомо, не були ніде опубліковані. Зокрема, вищезгаданий результат про інтегрування (див. теореми 7.12 і 7.17) видається новим кроком у теорії інтегрування диференціальних систем. Також у розділі 5 ми наведено два головних приклади: грасманівський пучок гіперплощин та ліувіллєва структура на кодотичному розшарування, які ілюструють багато ідей описаних в даній роботі.


Зауважимо, що наші методи також застосовуються до випадку неінтегровних систем, і в останніх двох розділах отримано деякі цікаві результати, що ілюструють їх за допомогою систем прапорів. Останні системи можна розглядати як “найбільш неінтегровні” системи Пфаффа не дивлячись на те, що єдиними інтегральними підмноговидами є, власне, інтегральні криві (будь-яка крива, дотична до лінійних контактних елементів, що зануляються системою Пфаффа).

Ключові слова:
Диференціальні рівняння у частинних похідних, система Пфаффа, контактні структури, локальна еквівалентність

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Як цитувати
Kumpera, A. (2019). Про задачу інтегрування для систем рівнянь з частинними похідними від однієї невідомої функції, I. Proceedings of the International Geometry Center, 11(4), 35-71. https://doi.org/10.15673/tmgc.v11i4.1305
Розділ
Статьи