Proceedings of the International Geometry Center

ISSN-print: 2072-9812
ISSN-online: 2409-8906
ISO: 26324:2012
Архiви

Автоморфізми графів Кронрода-Ріба функцій Морса на 2-сфері

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

Anna Kravchenko
Sergiy Maksymenko
http://orcid.org/0000-0002-0062-5188

Анотація

Нехай $M$ - компактна двовимірна поверхня, і $f:M \to R$ - функція Морса і $\Gamma$ - її граф Кронрода-Ріба. Визначимо природну праву дію групи $C^{\infty}$ дифеоморфізмів $D(M)$ поверхні $M$ на
$C^{\infty}(M,R)$ за правилом: реузльтат дії дифеоморфізма $h\in D(M)$ на $f \in C^{\infty}(M,R)$ - це композиція $f o h: M \to R$.
Для $f \in C^{\infty}(M,R)$ позначимо через $O(f)={ f o h | h \in D(M)}$ та $S(f) = { h\in D(M) | f o h = f }$ - відповідно орбіту та стабілізатор цієї функції.
Легко показати, що кожен $h\in S(f)$ індукує деякий гомеоморфізм $\rho(h)$ графа $\Gamma$, а відповідність $h\mapsto\rho(h)$ є гомоморфізмом з $S(f)$ в групу гомеоморфізмів $\Gamma$.
Нехай $D_{id}(M)$ - тотожна компонента зв'язності групи $D(M)$, $S'(f)= S(f) \cap D_{id}(M)$ - підгрупа в $D_{id}(M)$ що складається з дифеоморфізмів які зберігають $f$ і орієнтацію $M$ та ізотопні до тотожного відображення, і $G$ - група автоморфізмів графа Кронрода"=Ріба функції $f$ індукованих дифеоморфізмами з $S'(f)$.
Остання група є скінченною і відіграє ключову роль для обчислення гомотопічного типу орбіти $O(f)$.


В попередній статті автори описали алгебраїчну структуру груп $G$ для функцій Морса на всіх орієнтовних поверхнях відмінних від тора $T^2$ та $2$-сфери $S^2$. 


Дана робота присвячена випадку $M = S^2$.
Відмітимо, що для кожної функції Морса $f: S^2 \to R$ її граф $\Gamma$ завжди є деревом, а тому всі елементи групи $G$ мають спільне нерухому піддерево $Fix(G)$, яке може складатись з однієї вершини.
Основний результат даної статті обчислює групи $G$ для всіх функій Морса $f:S^2\to R$, у яких нерухоме піддерево $Fix(G)$ містить більше ніж одну точку.


Отримані результати мають місце також для більш широкого ніж морсівські класу функцій $f: S^2\to R$, що є гладко еквівалентними до однорідних многочленів без кратних множників в околі кожної своєї критичної точки.

Ключові слова:
функція Морса, граф Кронрода-Ріба

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Як цитувати
Kravchenko, A., & Maksymenko, S. (2019). Автоморфізми графів Кронрода-Ріба функцій Морса на 2-сфері. Proceedings of the International Geometry Center, 11(4), 72-79. https://doi.org/10.15673/tmgc.v11i4.1306
Розділ
Статьи
Біографії авторів

Anna Kravchenko, Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Кафедра геометрії, топології і динамічних систем

Sergiy Maksymenko, Інститут математики НАН України

Лабораторія топології у складі відділу алгебри і топології

Посилання

1. E. A. Kudryavtseva. Connected components of spaces of Morse functions with fixed critical points. Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh., (1):3-12, 2012.,
2. E. A. Kudryavtseva. The topology of spaces of Morse functions on surfaces. Math. Notes, 92(1-2):219-236, 2012. Translation of Mat. Zametki \\bf92 (2012), no. 2, 241-261.,
3. E. A. Kudryavtseva. On the homotopy type of spaces of Morse functions on surfaces. Mat. Sb., 204(1):79-118, 2013.,
4. E. A. Kudryavtseva, D. A. Permyakov. Framed Morse functions on surfaces. Mat. Sb., 201(4):33-98, 2010.,
5. S. Maksymenko, B. Feshchenko. Orbits of smooth functions on 2-torus and their homotopy types. Matematychni Studii, 44(1):67-84, 2015.,
6. S. Maksymenko, B. Feshchenko. Smooth functions on 2-torus whose kronrod-reeb graph contains a cycle. Methods Funct. Anal. Topology, 21(1):22-40, 2015.,
7. S. Maksymenko, A. Kravchenko. Automorphisms of Kronrod-Reeb graphs of Morse functions on compact surfaces. arXiv:1808.08746, 2018.,
8. Sergiy Maksymenko. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces. Ann. Global Anal. Geom., 29(3):241-285, 2006.,
9. Sergiy Maksymenko. Functions with isolated singularities on surfaces. Geometry and topology of functions on manifolds. Pr. Inst. Mat. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Zastos., 7(4):7-66, 2010.,
10. Sergiy Maksymenko. Homotopy types of right stabilizers and orbits of smooth functions functions on surfaces. Ukrainian Math. Journal, 64(9):1186-1203, 2012.,
11. Sergiy Maksymenko. Deformations of functions on surfaces by isotopic to the identity diffeomorphisms. 2013.,
12. Stephen Smale. Diffeomorphisms of the 2-sphere. Proc. Amer. Math. Soc., 10:621-626, 1959.