Proceedings of the International Geometry Center

ISSN-print: 2072-9812
ISSN-online: 2409-8906
ISO: 26324:2012
Архiви

Проблема трьох спектрів для рівняння Стільтьеса та умов Неймана

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

Anastasia Dudko
Vyacheslav Pivovarchik
https://orcid.org/0000-0002-4649-2333

Анотація

Скінченновимірні спектральні задачі виникають у механіці при описі малих поперечних коливань, так званих, стільтьєсівських струн та повздовжних коливань точкових мас, з’єднаних пружинами. Вони також виникають у теорії синтезу електричних ланцюгів.
Обернені задачі полягають у відновленні параметрів системи, виходячи зі спектрів її коливань. У роботах М. Г. Крейна була повністю розв’язана обернена задача за двома спектрами, тобто за спектром задачі з умовами Діріхле на обох кінцях інтервалу та спектром задачі з умовою Діріхле на лівому кінці та умовою Ноймана на правому кінці.
Замість двох спектрів задач на всьому інтервалі можна взяти спектр задачі на всьому інтервалі та спектри задач на двох частинах цього інтервалу.
В нашій статті ми розглядаємо спектральну задачу, породжену рекурентними співвідношеннями стільтьєсівської струни з умовами Ноймана на обох кінцях (задача Ноймана-Ноймана) разом із задачами на частинах інтервалу з умовами Ноймана на лівому кінці та Діріхле на правому кінці (задача Ноймана-Діріхле). Ми показали, що власні значення задачі Ноймана-Ноймана на всьому інтервалі чергуються з елементами об’єднання спектрів задач Ноймана-Діріхле на частинах інтервалу.
Відповідна обернена задача полягає у знаходженні параметрів стільтьєсівської струни (величин точкових мас та інтервалів між ними), виходячи із загальних мас частин струни, спектрів задач Ноймана-Ноймана на всій струні та Ноймана-Діріхле на частинах струни.
Для такої задачі ми довели, що спектр задачі Ноймана-Ноймана на всій струні, спектр задачі Ноймана-Діріхле на лівій частині струни, всі, крім одного, власні значення задачі Ноймана-Діріхле на правій частині струни та загальні маси обох частин струни однозначно визначають величини всіх точкових мас та інтервали між ними.
Відповідна обернена задача полягає у знаходженні параметрів стільтьєсівської струни (величин точкових мас та інтервалів між ними), виходячи із загальних мас частин струни, спектрів задач Ноймана-Ноймана на всій струні та Ноймана-Діріхле на частинах струни.

Ключові слова:
Рівняння струни Стилтьеса, умови Неймана

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Як цитувати
Dudko, A., & Pivovarchik, V. (2019). Проблема трьох спектрів для рівняння Стільтьеса та умов Неймана. Proceedings of the International Geometry Center, 12(1), 41-55. https://doi.org/10.15673/tmgc.v12i1.1367
Розділ
Статьи

Посилання

1. O. Boyko, V. Pivovarchik. Inverse problem for Stieltjes string damped at one end. Methods Funct. Anal. Topology, 14(1):10-19, 2008.,
2. O. Boyko, V. Pivovarchik. Inverse spectral problem for a star graph of stieltjes strings. Methods Funct. Anal. Topology, 14(2):159-167, 2008.,
3. O. Boyko, V. Pivovarchik. The inverse three-spectral problem for a Stieltjes string and the inverse problem with one-dimensional damping. Inverse Problems, 24(1):13, 2008.,
4. W. Cauer. Die Verwirklichung von Wechselstromwiderstanden vorgeschriebener Frequenzabhangingkeit. Arch. Elektrotech, 17(4):355-388, 1926.,
5. T. C. Fry. The use of continued fractions in the design of electrical networks. Bull. Am. Math. Soc, 35(153), 1929.,
6. F. R. Gantmakher, M. G. Krein. Oscillating matrices and kernels and vibrations of mechanical systems. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2002.,
7. J. Genin, J. S. Maybee. Mechanical vibration trees. J. Math. Anal. Appl., 45:746-763, 1974.,
8. G. Gladwell. Inverse problems in vibration, volume 119 of Solid Mechanics and its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2004.,
9. G. Gladwell, A. Morassi. Dynamical inverse problems: theory and applications. CISM Courses and Lectures 529, pages 1-29, 2011.,
10. E. A. Guillemin. Synthesis of passive networks. Theory and methods appropriate to the realization and approximation problems. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1958.,
11. I. S. Kac, M. G. Krein. R-functions - analytic functions mapping the upper half-plane into itself. Amer. Math. Transl. (2), 103(2):1-18, 1974.,
12. M. G. Krein. On some new problems of the theory of vibrations of sturm systems. Prikladnaya matematika i mekhanika, 16(5):555-568, 1952 (in Russian).,
13. V. A. Marchenko. Introduction to the theory of inverse problems of spectral analysis. Acta, Kharkov, 2005 (in Russian).,
14. M. Moller, V. Pivovarchik. Spectral theory of operator pencils, Hermite-Biehler functions, and their applications, volume 246 of Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser/Springer, Cham, 2015.,
15. V. Pivovarchik. Existence of a tree of Stieltjes strings corresponding to two given spectra. J. Phys. A, 42(37):16, 2009.,
16. V. Pivovarchik, N. Rozhenko, C. Tretter. Dirichlet-Neumann inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings. Linear Algebra Appl., 439(8):2263-2292, 2013.,
17. K. Veselic. On linear vibrational systems with one-dimensional damping. Appl. Anal., 29(1-2):1-18, 1988.