Proceedings of the International Geometry Center

ISSN-print: 2072-9812
ISSN-online: 2409-8906
ISO: 26324:2012
Архiви

Гомотопічні властивості гладких функцій на стрічці Мебіуса

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

Iryna Kuznietsova
http://orcid.org/0000-0003-1953-446X
Sergiy Maksymenko, http://orcid.org/0000-0002-0062-5188

Анотація

Нехай $B$ -- стрічка Мебіуса і $f:B \to \mathbb{R}$ -- функція Морса, яка приймає постійне значення на межі $\partial B$.


Позначимо через $\mathcal{S}(f,\partial B)$ групу дифеоморфізмів $h$ поверхні $B$ нерухомих на межі $\partial B$ і зберігаючих $f$ у тому сенсі, що $f\circ h = f$.


В роботі показано, що функція $f$ завжди має єдину критичну компоненту зв'язності $K$ деякої множини рівня, таку, що $K$ є інваріантною відносно $\mathcal{S}(f,\partial B)$, а доповнення $B\setminus N_K$ до деякого відкритого околу $N_K$ компоненти $K$ є об'єднанням замкнених $2$-дисків $X_1,\ldots,X_n$ та одного циліндра, що містить $\partial B$.


Більш того, за умови, що $\mathcal{S}(f,\partial B)$ залишає інваріантним також кожен диск $X_i$, обчислено групу $\pi_0\mathcal{S}(f,\partial B)$ класів ізотопії дифеоморфізмів з $\mathcal{S}(f,\partial B)$.


Показано, що


\[


    \pi_0\mathcal{S}(f,\partial B) \cong \mathbb{Z} \times \prod_{i=1}^{n}  \pi_0\mathcal{S}(f|_{X_i},\partial X_i),


\]


де $\mathcal{S}(f|_{X_i},\partial X_i)$ -- аналогічні групи для обмеження $f$ на $X_i$.


Насправді це твердження встановлене для набагато ширшої ніж функції Морса множини функцій $f:B\to\mathbb{R}$, які гладко еквівалентні однорідним многочленам без кратних множників в околі кожної своєї критичної точки.


Разом з попередніми результатами другого автора цей результат дозволяє обчислити аналогічні групи $\pi_0\mathcal{S}(f,\partial N)$ для деяких класів функцій  $f:N\to\mathbb{R}$ на довільних компактних неорієнтовних поверхнях $N$.

Ключові слова:
Дифеоморфізм, функція Морса

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Як цитувати
Kuznietsova, I., & Maksymenko, S. (2019). Гомотопічні властивості гладких функцій на стрічці Мебіуса. Proceedings of the International Geometry Center, 12(3), 1–29. https://doi.org/10.15673/tmgc.v12i3.1488
Розділ
Статьи
Біографії авторів

Iryna Kuznietsova, Інститут математики НАН України

Аспірантка лабораторії топології у складі відділу алгебри та топології

Sergiy Maksymenko, http://orcid.org/0000-0002-0062-5188, Інститут математики НАН України

Завідувач лабораторії топології у складі відділу алгебри та топології

Посилання

1. A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko. Integrable Hamiltonian systems. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004, doi: 10.1201/9780203643426. Geometry, topology, classification, Translated from the 1999 Russian original.
2. Ketty A. de Rezende, Guido G. E. Ledesma, Oziride Manzoli-Neto, Gioia M. Vago. Lyapunov graphs for circle valued functions. Topology Appl., 245:62–91, 2018, doi: 10.1016/j.topol.2018.06.008.
3. B. G. Feshchenko. Deformation of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graphs is a tree. In Topology of maps of low-dimensional manifolds, volume 12 of Pr. Inst. Mat. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Zastos., pages 204–219. Natsı̄onal. Akad. Nauk Ukraı̈ni, Īnst. Mat., Kiev, 2015.
4. Bohdan Feshchenko. Actions of finite groups and smooth functions on surfaces. Methods Funct. Anal. Topology, 22(3):210–219, 2016.
5. A. S. Kronrod. On functions of two variables. Uspehi Matem. Nauk (N.S.), 5(1(35)):24–134, 1950.
6. E. A. Kudryavtseva. Special framed Morse functions on surfaces. Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh., (4):14–20, 2012, doi: 10.3103/S0027132212040031.
7. E. A. Kudryavtseva. The topology of spaces of Morse functions on surfaces. Math. Notes, 92(1-2):219–236, 2012, doi: 10.1134/S0001434612070243. Translation of Mat. Zametki 92 (2012), no. 2, 241–261.
8. E. A. Kudryavtseva. On the homotopy type of spaces of Morse functions on surfaces. Mat. Sb., 204(1):79–118, 2013, doi: 10.1070/SM2013v204n01ABEH004292.
9. E. A. Kudryavtseva. Topology of spaces of functions with prescribed singularities on the surfaces. Dokl. Akad. Nauk, 93(3):264–266, 2016, doi: 10.1134/s1064562416030066.
10. S. I. Maksymenko. Deformations of functions on surfaces by isotopic to the identity diffeomorphisms. arXiv:math/1311.3347.
11. S. I. Maksymenko. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces. Ann. Global Anal. Geom., 29(3):241–285, 2006, doi: 10.1007/s10455-005-9012-6.
12. S. I. Maksymenko. Functions on surfaces and incompressible subsurfaces. Methods Funct. Anal. Topology, 16(2):167–182, 2010.
13. S. I. Maksymenko. Functions with isolated singularities on surfaces. Geometry and topology of functions on manifolds. Pr. Inst. Mat. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Zastos., 7(4):7–66, 2010.
14. S. I. Maksymenko. Homotopy types of right stabilizers and orbits of smooth functions on surfaces. Ukrainian Math. Journal, 64(9):1186–1203, 2012, doi: 10.1007/s11253-013-0721-x (in Russian).
15. S. I. Maksymenko, B. G. Feshchenko. Homotopy properties of spaces of smooth functions on 2-torus. Ukrainian Math. Journal, 66(9):1205–1212, 2014, doi: 10.1007/s11253-015-1014-3 (in Russian).
16. S. I. Maksymenko, B. G. Feshchenko. Orbits of smooth functions on 2-torus and their homotopy types. Mat. Stud., 44(1):67–83, 2015, doi: 10.15330/ms.44.1.67-83.
17. S. I. Maksymenko, B. G. Feshchenko. Smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph contains a cycle. Methods Funct. Anal. Topology, 21(1):22–40, 2015.
18. Sergiy Maksymenko. Homotopy dimension of orbits of Morse functions on surfaces. Travaux mathématiques, 18:39–44, 2008.
19. Georges Reeb. Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées. Actualités Sci. Ind., no. 1183. Hermann & Cie., Paris, 1952. Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 11, pp. 5–89, 155–156.
20. Francis Sergeraert. Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 5:599–660, 1972.

Найчастіше прочитані статті того самого автора (ів)