Proceedings of the International Geometry Center

ISSN-print: 2072-9812
ISSN-online: 2409-8906
ISO: 26324:2012
Архiви

Задачі зв’язності для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля

##plugins.themes.bootstrap3.article.main##

Nataliia Luno
https://orcid.org/0000-0002-3280-0358

Анотація

В статті використано загальний підхід до розв’язування задач зв’язності для многочленів Аппеля, який базується на тому, що відношення трансферних функцій, які представляють собою формальні степеневі ряди, даних двох сімейств многочленів Аппеля є відомим рядом. Використовуючи рекурентні формули для знаходження коефіцієнтів ряду, який є відношенням двох даних формальних степеневих рядів, ми отримали розв’язок оберненої задачі для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля.  В загальному випадку розв’язок визначається рекурентними формулами, але у деяких часткових випадках, коли породжуюча функція має простий вигляд, розв’язок оберненої задачі виражається у замкнутій формі, зокрема, для многочленів Гоулда-Хоппера, або для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля, породжуюча функція яких співпадає із функцією Бесселя першого роду.


Користуючись цим же методом і відомим представленням узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля у формі звичайного диференціального оператора, ми знайшли рекурентні формули розв'язку задачі зв'язності між узагальненими гіпергеометричними многочленами Аппеля та многочленами Бернуллі, між узагальненими гіпергеометричними многочленами Аппеля - многочленами Гоулд-Хоппера та між двома різними сімействами узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля. Використовуючи схожий підхід, ми отримали нове рекурентне рівняння для  узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля, коефіцієнти якого визначаються рекурентно, і встановили замкнуту форму декількох перших з них. Частковими випадками отриманого рівняння є, зокрема, відомі рекурентні рівняння для многочленів Гоулда-Хоппера і для многочленів Ерміта.


Крім того, розв'язок задачі зв'язності для двох різних сімейств узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля отримано в іншій формі - з використанням значень цих многочленів в нулі.
Ключові слова:
многочлени Аппеля, задачі зв'язності, представлення груп, формальний степеневий ряд, рекурентні рівняння, диференціальні рівняння

##plugins.themes.bootstrap3.article.details##

Як цитувати
Luno, N. (2020). Задачі зв’язності для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля. Proceedings of the International Geometry Center, 13(2), 1-18. https://doi.org/10.15673/tmgc.v13i2.1733
Розділ
Статті
Біографія автора

Nataliia Luno, Донецький Національний Університет ім. В.Стуса

Кафедра прикладної математики, аспірант

Посилання

1. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, volume 55 of National Bureau of Standards Applied Mathematics Series. For sale by the Superintendent of Documents, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., 1964
2. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 2020. http://oeis.org/A000275
3. P. Appell. Sur une classe de polyn^omes. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (2), 9:119-144, 1880, http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1880_2_9__119_0
4. L. Bedratyuk. Semi-invariants of binary forms and identities for Bernoulli, Euler and Hermite polynomials. Acta Arith., 151(4):361-376, 2012, doi: http://dx.doi.org/10.4064/aa151-4-2
5. L. Bedratyuk, N. Luno. Some properties of generalized hypergeometric Appell polynomials. Carpathian Math. Publ., 12(1):129-137, 2020
6. Y. Ben Cheikh, H. Chaggara. Connection problems via lowering operators. J. Comput. Appl. Math., 178(1-2):45-61, 2005, doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.cam.2004.02.024
7. L. Carlitz. The coefficients of the reciprocal of J_0(x). Arch. Math., 6:121-127, 1955, doi: http://dx.doi.org/10.1007/BF01900214
8. Juan Carlos Lopez Carreno, Rosalba Mendoza Suarez, Jairo Alonso Mendoza. Connection formulae among special polynomials. Int. J. Math. Comput. Sci., 10(1):39-49, 2015
9. E. Godoy, A. Ronveaux, A. Zarzo, I. Area. Minimal recurrence relations for connection coefficients between classical orthogonal polynomials: continuous case. J. Comput. Appl. Math., 84(2):257-275, 1997, doi: http://dx.doi.org/10.1016/S0377-0427(97)00137-4
10. H. W. Gould, A. T. Hopper. Operational formulas connected with two generalizations of Hermite polynomials. Duke Math. J., 29:51-63, 1962, http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077469990
11. E. R. Hansen. A Table of Series and Products. New York: Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975
12. Dae San Kim, Taekyun Kim, Dmitry V. Dolgy. Some identities on Laguerre polynomials in connection with Bernoulli and Euler numbers. Discrete Dyn. Nat. Soc., pages Art. ID 619197, 10, 2012, doi: http://dx.doi.org/10.1155/2012/619197
13. S. Lewanowicz. The hypergeometric functions approach to the connection problem for the classical orthogonal polynomials. Inst. of Computer Sci., Univ. of Wroclaw, Technical Report, 2003, http://www.ii.uni.wroc.pl/ sle/hyperpol.pdf
14. Wilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger, Raj Pal Soni. Formulas and theorems for the special functions of mathematical physics. Third enlarged edition. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 52. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1966
15. T. R. Prabhakar, Madhu Chopra, Sharda Gupta. An Appell cross-sequence suggested by Hermite polynomials. Indian J. Pure Appl. Math., 9(2):194-199, 1978
16. Earl D. Rainville. Special functions. The Macmillan Co., New York, 1960
17. A. Ronveaux. Orthogonal polynomials: connection and linearization coefficients. In International Workshop on Orthogonal Polynomials in Mathematical Physics (Leganes, 1996), pages 131-142. Univ. Carlos III Madrid, Leganes, 1997
18. H. M. Srivastava, H. L. Manocha. A treatise on generating functions. Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications. Ellis Horwood Ltd., Chichester; Halsted Press [John Wiley & Sons, Inc.], New York, 1984